DESARROLO DE CLASES

Lógica matemática

Introducción.

Aprender matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

                           Proposiciones y operaciones lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p:         La tierra es plana.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t:          Hola ¿como estas?

w:         Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El  inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

  Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

  Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

                        p =  q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

 Donde.

 1 =  verdadero

 0 =  falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

  Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

Operador Not (no)

  Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ^Ø,^-}. Ejemplo.

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p Ù qÚ r

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p ® q                Se lee “Si p entonces q”

Ejemplo.

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República  recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p ® q

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

  La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo,  q=1 y  recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que  p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió  de tal forma que  p ® q =1.

  Proposición bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:

p « q                Se lee “p si solo si q”

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

por lo tanto su tabla de verdad es.

  A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.

  Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Si  no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y  Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado.  Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

(p’ ® q) Ù [p ® (rÚs) ] Ù [(rÙ s) ® t’ ] « w

Tablas de verdad.

 En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q).

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2ⁿ            Donde n = número de variables distintas.

  Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.

  Tautología y contradicción.

  Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad  de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

  A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..

   1.- Doble negación.

                        a).        p''Ûp

            2.- Leyes conmutativas.

                        a).        (pÚq)Û(qÚp)

                        b).        (pÙq)Û(qÙp)

                        c).        (p«q)Û(q«p)

            3.- Leyes asociativas.

                        a).        [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

                        b.         [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

            4.- Leyes distributivas.

                        a).        [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

                        b.         [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

            5.- Leyes de idempotencia.

                        a).        (pÚp)Ûp

                        b).        (pÙp)Ûp

            6.- Leyes de Morgan

                        a).        (pÚq)'Û(p'Ùq')

                        b).        (pÙq)'Û(p'Úq')

                        c).        (pÚq)Û(p'Ùq')'

                        b).        (pÙq)Û(p'Úq')'

            7.- Contrapositiva.

                        a).        (p®q)Û(q'®p')

            8.- Implicación.

                        a).        (p®q)Û(p'Úq)

                        b).        (p®q)Û(pÙq')'

                        c).        (pÚq)Û(p'®q)

                        d).        (pÙq)Û(p®q')'

                        e).        [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

                        f).         [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

  9.- Equivalencia

                        a).        (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

    10.- Adición.

                        a).        pÞ(pÚq)

  11.- Simplificación.

                        a).        (pÙq)Þp

  12.- Absurdo

                        a).        (p®0)Þp' 

 13.- Modus ponens.

                        a).        [pÙ(p®q)]Þq

  14.- Modus tollens.

                        a).        [(p®q)Ùq']Þp'

  15.- Transitividad del «

                        a).        [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

  16.- Transitividad del ®

                        a).        [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

  17.- Mas implicaciones lógicas.

                        a).        (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                        b).        (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]                              

                        c).        (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

  18.- Dilemas constructivos.

                        a).        [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                        b).        [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción :es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

  Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

   La proposición pÙp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

  Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

  Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q)  y  (q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q)  º (q’®p’)

  CIRCUITOS LOGICOS:

Un circuito es un sistema físico compuesto por varios cables conductores conectados entre si por conectores (o circuito lógico elemental o atómico) de diferente tipo.

El conector más elemental, es el que corresponde con la identidad (vease figura 2), compuesto por una fuente de energía , y por un elemento biestable, (en nuestro caso un relais), de forma que cuando pasa corriente por el cable actúa el electroimán haciendo bajar la lengueta, que hace contacto en el borne, dejando pasar la corriente por el cable , y no pasará corriente por el cable en el caso contrario. Si la proposición es ``pasa corriente por el cable " y la proposición es ``pasa corriente por el cable ", vemos que será verdadera cuando sea verdadera y falsa cuando lo sea . El circuito anterior se comporta como indica la siguiente tabla de verdad:

Tabla de verdad de la identidad¹⁵

De forma análoga se pueden construir conectores que respondan a los operadores de negación (vease figura 2), disyunción (vease figura 3) y conjunción (vease figura 3), cuyas tablas de verdad se indican a continuación:

Tabla de verdad de la negación

 

Tabla de verdad de la conjunción

 

Tabla de verdad de la disyunción

 

Estas tablas se materializan mediante los circuitos que representamos en las figuras 2 y 3.

 

 

  "SI DESEAS TRIUNFAR TIENE QUE PASAR TUS METAS "

 

 

 

Escrito por kalisarpk2 el 29/04/2007 22:06 | Comentarios (4)